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El árbol y las ramas (Conceptos previos).

por Raúl Devia


Hola de nuevo. Prefiero empezar sin recurrir a tópicos sobre el nuevo año entrante. Evitar esas primeras típicas cuatro líneas que nos recuerdan que un nuevo ciclo ha comenzado y que, por tanto, debemos actuar en consecuencia. Intentaré ir directamente al desarrollo del articulo sin enredarme en perífrasis vacías y repetitivas. Sin caer en los mismos esquemas. Intentaré ... creo que lo he vuelto a hacer. Ya me lo avisé. En fin ... ¡escritores aficionados!

Antes de dar paso a los distintos capítulos que conforman la serie de artículos presentados en el pasado numero, creo que sería de utilidad dar unas pinceladas básicas, tremendamente básicas, de ideas matemáticas que frecuentemente pasan ante nuestras narices y que posiblemente para mucha gente sean lagunas o puntos negros que consideran demasiado difíciles como para familiarizarse con ellos.
En la próximas líneas veremos cosas tan elementales como las distintas clases de números, qué entendemos por un numero primo y los dos tipos de infinito que matemáticamente existen. Todo muy elemental pero, a mi modo de ver, interesante para el seguimiento de la serie.
No serán ideas difíciles ni tremendamente elaboradas. Animo a quien se acerque por primera vez a ellas a que intente hacerlas suyas. Si al final de este articulo consigo que estas ideas se hallan fijado en alguno de los millones de lectores que ansían con fervor casi religioso mis escritos, mejor. De todas formas, tú ( lector normal que desconocías la existencia de mi cibernética pluma ) también me vales. En fin..

ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS

1. Los números y sus tipos

Entre los números que conocemos ahí distintas familias. Distintas etiquetas que pueden explicar su nacimiento, su evolución histórica y lo diferentes que son desde un punto de vista esencial. Lo que nosotros entendemos por números son los llamados números reales aunque nunca los llamamos así. Evidentemente los distintos nombres se usarán a un nivel más alto del que estamos acostumbrados a emplear.
Así, los números tienen una estructura bastante parecida a esas muñecas rusas que contienen otra , que a su vez contiene otra, etc.. Son conjuntos anidados en el que cada nivel contiene al anterior. Empecemos.

  • Números Naturales.

Son los que de una manera más obvia nos vienen a la cabeza. Imaginemos un habitante de la tierra hace muchos miles de años. Supongamos que su estructura craneal, su escasa evolución y esos horribles pelos que le cuelgan de la espalda, le impiden cualquier tipo de razonamiento medianamente elaborado. Pues bien, bastaría con que nuestro amigo se mirara los pies, las manos, echara un vistazo al verde campo o mirara de noche las estrellas para que viniera a su cabeza la idea de "uno, dos, tres, cuatro...". Estos son los números naturales. El 1, el 5656, el 432. No es necesaria ninguna idea brillante para suponer que, si junto un hueso de mamut , un hueso de mamut y un hueso de mamut obtengo tres huesos de mamut. Por eso son llamados números naturales. Se les representa con una N . Una frase muy bonita dice que "Dios creó los números naturales y el resto es invención humana". No puedo estar más de acuerdo. Explica mucho de la evolución teórica de las matemáticas.
Otra cosa más; los matemáticos no se ponen de acuerdo sobre la conveniencia de incluir el cero, 0, en los naturales. A veces se incluye y a veces no. A su criterio se lo dejo amigos.

  • Números Enteros.

Añadamos una dificultad, leve, a este razonamiento. Con esta cantidad de números, con sólo esta etiqueta, no podríamos llevar a cabo cosas tan básicas como restar (sumar números negativos). La idea de perdida, la idea de cambio que inmediatamente surge en nuestra cabeza, necesita de unos nuevos elementos. Así surgen los números enteros. Enteros son ya el 34, -21, 766763, -122223, -1 etc. Nótese que este conjunto, como anunciamos al principio contiene al anterior. La letra que lo representa es la Z. . Ya tenemos muchísimos números con los que trabajar, pero sospecharán que todavía no es suficiente. Allá vamos...

  • Números Racionales.

Si cojo una tarta y la parto por la mitad, ¿Qué consigo?. Evidentemente, dos medias tartas. Aunque desde un punto de vista estrictamente empírico, sólo hay dos trozos de tarta (eso sí, más pequeños), nuestro ya evolucionado cerebro (perdonen el optimismo inocentón, debe ser la Navidad) pide a gritos otra forma de expresión para este concepto. Algo que relacione el todo con sus partes. Así surge esta tercera muñeca que se come a las dos de un plumazo. El ½, en el caso de nuestra tarta, el 4/5, el -1/2 son números racionales. Pero también lo son el 4, el -6 o el 7 , sin más que expresarlos como 4/1, -6/1 o 7/1 respectivamente. Para decirlo de un modo más académico, el conjunto formado por los números racionales es el grupo de fracciones de Z. Todos sus elementos se forman como a/b siendo a y b números enteros.
Al conjunto de los números racionales se le denota por Q

  • Números Reales.

De ahora en adelante necesitaré algo más de paciencia por su parte, desocupado lector, para comprender lo que sigue. Hasta ahora no han entrado en juego ningún tipo de criterio "científico". He intentado que la simple evolución lógica del pensamiento explicara los diferentes conjuntos que han ido apareciendo. Pero la cosa se complica.
Aunque parezca que ya están cubiertos todos los números que nuestra imaginación puede suponer, aún faltan unos cuantos sin etiqueta. Quedan números que no son racionales desde un punto de vista matemático.

Todos sabemos lo que es la raíz cuadrada de un número. Si quiero saber la raíz cuadrada de 9 necesito un numero que multiplicado por si mismo dé nueve. Es evidente que el tres y el menos tres ( 3 y -3) sirven para este propósito. Por tanto, las raíces cuadradas de 9 son 3 y -3.

Pues bien, en los números racionales no está incluido la raíz cuadrada de dos (*), que es un número muy útil desde el punto de vista matemático. Por ejemplo, si dibujamos un cuadrado de un metro de largo, la diagonal de dicho cuadrado mide raíz de dos. Al igual que pasa con raíz de dos pasa con una cantidad importante de números.
Por tanto, si juntamos todos estos números "discriminados" en la anterior etiqueta con los que teníamos, habremos llegado a los números reales, que se representan con R.

(*) El hecho de que raíz de dos no es un numero racional (que no se puede poner como a/b, o lo que es lo mismo, que si lo ponemos como a/b llegaremos a una contradicción) es un resultado matemático tremendamente fácil de explicar pero que excede el objetivo de este artículo. Para consultar la demostración, que ocupa unas tres líneas, les remito a cualquier libro de análisis de primero de carrera o incluso a algún texto avanzado de bachillerato.

  • Números Complejos.

Pero, ricemos aún más el rizo. Ésta es para nota, les aviso para que luego no lloren.

Imaginemos la ecuación x^2 + x + 1 = 0 (x al cuadrado + x +1 =0) ( ejemplo1 ).
Por un teorema básico desde el punto de vista algebraico, esta ecuación tiene que tener soluciones.
La formula para solucionar este tipo de ecuaciones que utilizamos los matemáticos es

X= [-b + sqrt ((b^2)-4*a*c)] / (2*a)
y
X= [-b - sqrt ((b^2)-4*a*c)] / (2*a)

Siendo sqrt ((b^2)-4*a*c) "la raíz cuadrada de ( b cuadrado menos cuatro por a por c )" y a,b,c los coeficientes ( números que acompañan a la x^2, a la x y el número "suelto" del final de la ecuación respectivamente). En nuestro ejemplo 1 , a=1, b=1 y c=1

¿Me siguen?¿ Están todavía ahí? Si después de esto no les he perdido creo que cuento con su fidelidad para lo que queda de artículo. No se asusten, no es tan difícil.

Seguimos. Aplicamos ahora esta formula a nuestra ecuación del ejemplo 1.

Así, X=[-1+ sqrt(-3)]/2 y este número tiene que existir por el teorema al que he hecho referencia. Pero sqrt(-3) es algo que niega la lógica hasta el momento usada. Para los números que hemos aprendido a manejar, es imposible que exista la raíz cuadrada de un numero negativo, ya que cualquiera de los números usados anteriormente, multiplicado por si mismo da un número positivo. [ más por más es más, menos por menos es más ] Luego necesitamos un "mundo" en el que existan las raíces cuadradas de números negativos. Ese será el mundo de los números complejos.

Así, llamaremos i a la raíz de menos uno. Ya tenemos lo que necesitábamos, porque las raíces de -3 será raíz de tres por i. Nuestro universo encaja.

Ahora todos los números complejos serán expresados como a+b*i con a y b reales. A cada sumando se le llamará parte real y parte imaginaria respectivamente.
Podemos decir, por tanto que los reales son complejos con la parte imaginaria igual a 0.
A los números complejos se les designa por la letra C.

Ejemplos de números complejos son 1, 2'34, 3+4i etc.
Esto cierra la cadena de números y los distintos tipos, siendo C el más grande y N el más pequeño.
Así, C contiene a R que contiene a Q que contiene a Z que contiene a N. Prosa enmarañada pero fácil de entender, espero.

2. Diferentes Clases De Infinito

Lo explicado anteriormente nos puede dar una idea de cómo razonar algo tan curioso para alguien no familiarizado con el mundo de las matemáticas. A saber, que existen dos clases de infinito completamente diferentes y que se basan en los distintos tipos de números existentes.

Definimos el cardinal de un conjunto como el número de elementos del mismo y lo denotamos por el símbolo #.
Para ser fieles a la definición "oficial" diremos que los dos infinitos existentes son:

#N     y     #R

o lo que es lo mismo, el número de elementos de los naturales y el numero de elementos de los reales. Hay "infinitos" números naturales (1,2,3,4,etc) y también hay "infinitos" números reales (1/1, ½, 1/3, ¼, etc ). Pero parece claro que #R es más grande que #N. La idea es la siguiente: si yo cojo un numero natural, el 4 por ejemplo, y miro en un intervalo lo suficientemente pequeño centrado en él (3'5, 4'5) [el intervalo (a,b) contiene todos los números desde a hasta b] no encuentro ningún otro numero natural , mientras que si hago eso para cualquier numero real, por muy pequeño que haga el intervalo, siempre encontraré un elemento de dicho conjunto ( en realidad encontraré infinito número de elementos) . Hagan la prueba y se convencerán . La idea intuitiva es que unos están "separados" con huecos y en los otros no existen dichos huecos. Para hacerlo mas gráfico veamos un pequeño ejemplo. Imaginemos un papel en blanco, un folio. Si pregunto cuantos puntos hay en la hoja me contestarán que infinito (#R) . Si ahora me dispongo a contar en voz alta cada segundo de tiempo que transcurre y suponiendo que tenga vida eterna, a la pregunta de ¿Cuántos números podrás contar? Podré responder "infinitos", pero esta vez será #N

3. Números Primos

Un último concepto , éste mucho mas fácil de explicar, es el de número primo. Esta idea sólo se aplicará, en principio a los elementos de Z
Considero que " a divide a b" si el resto de dividir b entre a es cero.
Así, 4 divide a 16, 2 divide a 28 etc.
Pues bien, los números primos son aquellos que solo son divisible por ellos mismos y por el 1.
Ejemplo hay muchísimos: 1,2,3,5,7,11 etc. Por supuesto, para que un número sea primo no puede ser par ya que el dos dividiría a dicho numero y esto contradice la definición de primo.
Hay prácticamente toda una rama de las matemáticas montada para tratar este tipo de números. De hecho, matemáticos muy importantes a lo largo de la historia han aportado ideas y resultados sobre este tema. Uno de los más típicos dice que hay infinitos números primos. Les reto a encontrar todos los que se les ocurran. Yo les he dado ya los seis primeros.

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Aquí pongo punto final a este articulo en el que he intentado hacer de "dominio público" algunos conceptos aritméticos que con frecuencia serán usados a lo largo de esta larga serie que nos espera. Los artificios matemáticos han sido, lo juro, los menos posibles y la notación, tal vez difícil de seguir en algunos momentos, ha sido cuidada para evitar liar aun más la exposición.
Finalmente un consejo si quieren adentrarse en el estudio de las matemáticas con algo más de profundidad: "no es tan fiero el león como lo pintan", no tengan miedo y si en algún momento han perdido el hilo de la explicación, no se culpen, háganlo a mí y a mi intento de exposición.(*)

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Notas:
*. Este último párrafo es simplemente una formula de cortesía. No se crezcan. Sólo era eso. C O R T E S Í A.... ¡¡ Hasta el próximo número!!.

 

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Última actualización: miércoles, 1 de enero de 2003

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