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Andamios a Priori II:
Las Matemáticas Útiles y el Arte

por Raúl Devia López

En el anterior número de esta serie de cuatro sobre la relación entre las matemáticas y el arte intenté dividir en tres dicha relación.

Los apartados de los que constaría el ensayo serían, por este orden: Las matemáticas útiles y el arte, Las matemáticas en la literatura, la religión y la metafísica y por último, Las matemáticas como arte en si mismo.

En las siguientes páginas me dispongo a desarrollar el primero de estos tres puntos.

Tal vez para alguien alejado del mundo matemático, esta primera parte sea la de más fácil comprensión ya que el concepto de matemáticas aquí se asemeja mucho al de herramienta. Para nosotros, durante las próximas paginas, las matemáticas serán una herramienta útil que ayude a los artistas en el desarrollo de su talento (ejemplo numero 1) o que siente las bases de cualquier otro desarrollo posterior (ejemplo número dos). Por muy reacio que se sea a establecer una relación entre matemáticas y arte, cualquier persona puede ver que aquí es clara y que, seguramente, sin los desarrollos matemáticos expuestos, elementales por otra parte, se hubiera hecho muy difícil el avance de las artes, o al menos el concepto que de ellas tenemos en la actualidad.

Para ejemplarizar esa indudable utilidad de las matemáticas utilizaré dos casos concretos de una infinidad de posibles opciones. Los conceptos matemáticos que soportan dichos ejemplos son, espero, de fácil comprensión para todo el mundo.

En el primer ejemplo hablaré de la relación entre las matemáticas y la pintura de un modo muy concreto. Me apoyaré en la geometría proyectiva que surgió en el renacimiento como una necesidad de los pintores de dar rigor matemático al dotar a sus cuadros de perspectiva.

En el segundo ejemplo veremos como las bases de la música occidental se asientan en los conceptos de proporcionalidad desarrollados por los matemáticos griegos de una manera casi indistinta a como de desarrollaban otras ideas de carácter filosófico.

Tema este, la matemática griega, al que volveremos a la hora de hablar de la metafísica matemática tomando como ejemplo la escuela pitagórica (también mencionada en este apartado).

Como se puede ver, las fronteras entre lo puramente útil y los desarrollos mas místicos no son demasiado nítidas y puede que a lo largo del articulo saltemos de una a otra orilla de una manera no intencionada. Agrupar las matemáticas, como cualquier otra disciplina intelectual, en cajones separados, es una tarea prácticamente imposible, y aunque intentaré en la medida de lo posible mantenerme en el lado útil, veremos que a ciertos niveles los límites no están muy claros.

 

La Geometría Proyectiva y su relación con la Pintura Renacentista

Nos encontramos en la agonía de la Edad Media. La concepción teocrática de la sociedad, y por tanto del arte, daba paso a una visión mas profunda, volviendo a los clásicos en lo que se ha llamado revolución laica de la sociedad occidental. El conocimiento y la cultura cambian de manos, o sería mejor decir que se reparten, y la iglesia deja de ser la dueña del monopolio intelectual arrebatándole en parte su capacidad dogmatizante. La invención de la imprenta así como determinados movimientos de carácter teológico ayudan de manera determinante a que nuestro mundo de un paso de gigante para la eterna lucha del hombre por conocerse mejor (lucha que sabemos perdida desde siempre, tal vez ahí esté la gracia).

En pintura, como en el resto de las artes, este proceso de realiza de manera paulatina.

Como ya hemos dicho, el objetivo del arte ahora es buscar la verdad en las cosas, volver a la naturaleza e intentar aprehender su esencia sin interferencias de carácter más supersticioso que teológico. De aquí surge la necesidad de los pintores de trabajar con la perspectiva.

Durante la Edad Media, si queríamos representar una virgen o una escena sacra, lo que realmente importaba era el primer plano, que sobresalía sobre el resto dejando como prioridad secundaria el resto de la obra. Así, muchas veces se rellenaba el fondo con colores dorados u otros que ayudaran a fijar la vista en el objeto verdaderamente interesante. Esto no es más que una concreción de la idea que de la naturaleza humana se tenia en la Edad Media. Las verdades teológicas relucían de manera incuestionable sobre cualquier otro conocimiento periférico.

Pero con la gradual llegada de este cambio intelectual, los pintores vieron surgir la necesidad de sistematizar de una manera rigurosa los hasta entonces pueriles intentos de usar la perspectiva. El artista intenta imitar lo que el ojo ve disminuyendo la intensidad de los colores y proponiendo una reglas basadas en la óptica.

El primer intento, matemáticamente todavía inconsistente, se debe a Leone Batista Alberti (1404-1472) que en 1435 en su libro Della pittura (impreso en 1511, cuarenta años después de la muerte de Alberti) intenta dar unas reglas para conseguir que lo pintado se asemeje a lo que realmente vemos, ayudado de la óptica.

Para ello sugiere que el objeto enfocado por el ojo deja una proyección en la tela del cuadro en su camino hacia nosotros.

Así las rectas que unen nuestro ojo con el objeto se convierten al pasar al lienzo en puntos si son perpendiculares a él y en sombras de ellas en el caso contrario .

Otras obras de importancia en este sentido son las de Pietro della Francesca (1410-1492) De Prospettiva pingendi en el que enseña a pintar capiteles corintios en perspectiva y, como no, Leonardo da Vinci (1452-1519) que en su Trattato della pittura resume todas sus investigaciones sobre el tema. Según él la perspectiva es la herramienta más útil para conseguir plasmar la realidad.

Frases suyas son:

Nadie que no sea matemático debe leer los principios de mi trabajo

No hay certeza alguna allí donde no se pueda aplicar algunas de las ciencias matemáticas

Leonardo es el ejemplo arquetípico de relación entre matemáticas y arte, pero según los autores especializados en el tema el artista con mejor base matemática fue Durero (1471-1528) que en su Underweysung der Messung mid dem Zyrkel und Rychtscheyd compendió todos los conocimientos sobre perspectiva adquiridos en Italia.

A partir del año 1500 la perspectiva estaba perfectamente integrada en la formación de cualquier pintor aunque faltaba todavía rigor matemático. Esta axiomática vendría dada a partir de 1600 por Desargues como máximo representante de los padres de la geometría proyectiva .

Pero cabría preguntarse: ¿qué es la geometría proyectiva?, ... ¿en qué se diferencia de la geometría normal o Euclídea?, ... ¿por qué los balbuceos teóricos anteriormente citados dan pie a esta disciplina? La geometría proyectiva es, de manera breve y poco académica, un intento de hacer geometría normal considerando como iguales objetos que lo son desde el punto de vista de la perspectiva.

Así, por ejemplo, dos rectas que son paralelas (y por tanto NUNCA se cortan), en la geometría proyectiva pasan a cortarse en el punto de infinito .

No trabajamos con los objetos en si, sino con cortes de estos objetos con un plano (que para nuestro ejemplo podría ser el lienzo de un artista) y con un punto imaginario, el del infinito, que podría asemejarse al ojo del observador.

Para fijar la idea de que dos paralelas se cortan imaginemos la típica carretera que se prolonga hasta el horizonte en cualquier dibujo de un paisaje . Aunque sabemos que nunca se cortará da la impresión de cortarse detrás de las montañas.

Gracias a estos estudios los pintores, en general los artistas, obtuvieron reglas matemáticas claras de cómo jugar con la perspectiva en los cuadros, teniendo en cuenta que estos no son mas que intersecciones de rayos luminosos (que van desde el objeto hacia el cuadro) con el lienzo (idea ya dada por Alberti).

Viendo estos ejemplos podemos hacernos una idea de lo útiles que resultaron los estudios de geometría proyectiva que empezó oficialmente Desargues.

Evidentemente los matemáticos no se quedaron aquí y siguieron con el desarrollo de esta disciplina hasta límites teóricos que se salieron enseguida del campo de lo útil.

Hoy en día la geometría proyectiva es una de las ramas del conocimiento matemático más bellas y su desarrollo surge casi en paralelo con la geometría normal.

Así, si estudiamos cónicas en la geometría normal, con un breve retoque teórico también las podremos estudiar para el caso proyectivo. De igual manera ocurre con el resto de objetos matemáticos. Una curva o una transformación en el plano pueden ser estudiadas desde el punto de vista normal y proyectivo.

Como se puede ver, todos estos estudios se salen, en principio, de lo más eminentemente útil, como era lo anterior, pasando a tener importancia en sí mismos.

 

La Matemática Griega y su relación con los orígenes de la Estructura Musical.

Que los pilares de nuestra civilización se encuentran en la cultura griega es algo que nadie discute. Desde concepciones políticas hasta criterios estéticos, la inmensa mayoría de los puntos de arranque de nuestra historia tienen que ser buscados entre Euclides, Platón, Aristóteles, Homero etc.

Pero algunas veces, estas bases resultan difíciles de reconocer por obvias.

Entre los no estudiosos de la historia a veces surge la tentación de calificar sus intentos de hacer ciencia, filosofía o política como balbuceos propios de un niño. Esto es obviamente una herejía a los ojos de cualquiera que profundice un poco más en el tema.

La importancia de su filosofía, en muchos casos, no es tanto su concepción del mundo ni de la naturaleza sino haber sido los primeros (al menos teóricamente) en romper con la idea mítica e irracional del universo y haber dado alternativas racionales a una concepción de la vida guiada por fuerzas literalmente inexplicables.

Así, gracias a los griegos, el ser humano abandona la infancia e inicia un camino de constante interiorización del mundo que nos rodea que nos lleva hasta hoy (tal vez no muy lejos de donde nos dejó el autor de La república).

En matemáticas la situación es prácticamente la misma. Problemas que ahora pueden parecer obvios o algo naif comparados con la elevada matemática actual son, sin duda, la base de siglos y siglos de especulación matemática. Carecerían completamente de sentido los estudios geométricos actuales sin aquel la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos en un triangulo rectángulo conocido como Teorema de Pitágoras.

Los griegos consideraban las matemáticas como hermana de otras disciplinas como la metafísica (o sería más correcto decir filosofía). Un ejemplo de esto es una paradoja típica entre los matemáticos conocida por la paradoja de Aquiles y la tortuga. Esta curiosa refutación del movimiento surge de Zenón de Elea, un matemático-filósofo discípulo de Parménides y por tanto preocupado por la demostración de la no existencia de movimiento. Conocemos la existencia de estas paradojas gracias a Aristóteles que comenta las afirmaciones de Zenón en sus textos y aprovecha para refutarlas.

En pocas palabras, esta cuestión filosófico-matemática se puede enunciar así:

Si el veloz Aquiles compitiera en una carrera con la lenta tortuga dejándola solamente un metro de ventaja, le sería imposible ganar ya que, cuando Aquiles haya llegado al punto de inicio de la tortuga, esta ha recorrido ya alguna distancia y para cuando Aquiles llegue a la nueva posición de la tortuga, esta ya se ha desplazado prolongando la persecución hasta el infinito (ver figura 3).

Aristóteles se encarga de tirar por tierra esta aparentemente contradicción entre la idea de movimiento geométrico-temporal y la experiencia sensorial. Considera que estamos mezclando conceptos como el espacio y el tiempo, finitos en cuanto a extensión pero infinitos en cuanto a posibles divisiones. La idea de lo matemático y lo filosófico aquí se diluyen completamente. Además podemos ver como lo matemático va unido casi siempre a lo geométrico. Esta ultima razón es la que hace vital el estudio de las proporciones y su relación con la música. Para un pueblo tan preocupado por el equilibrio y la perfección de formas la música no podía carecer de sistematización matemática. Para ello aparecen los Pitagóricos. Entre secta y corriente filosófica, este grupo de pensadores encabezados por el propio Pitágoras, de los que hablaremos con mas extensión en el siguiente capitulo, creía que la naturaleza y el mundo estaban regidos por números. Así, todo puede ser explicado por medio de relaciones entre números y por supuesto la música no iba a ser menos. Para ellos la numerología de las matemáticas se deducía de dos hechos:

- El sonido de una cuerda pulsada depende de la longitud de esta.

- La longitud de cuerdas igualmente tirantes que desprenden sonidos armónicos está en una razón igual a las razones de números enteros.

De esta forma, conseguiremos un sonido armónico con dos cuerdas igualmente tensas si una de ellas es igual al doble de la otra. Otra posible relación entre las cuerdas puede ser de tres a dos y la diferencia de tonos (usando terminología actual) sería de una quinta. De aquí podemos deducir escalas de un modo casi algebraico y por tanto, basándonos en teorías sobre proporciones, números místicos e incluso relaciones con la naturaleza, una mística de los sonidos tan del agrado de esta escuela griega.

Si el papel de escala es el de dar forma a la creación musical, se puede decir que los pitagóricos y sus relaciones entre sonidos y números intentaron unir forma y fondo por medio de las matemáticas (concretamente de la teoría de proporciones). Precisamente ese será uno de los papeles destacados de las matemáticas a lo largo de la historia en su relación con el arte.

Otras aportaciones de las matemáticas griegas a la historia de la estética racional del arte se pueden apreciar, aunque aquí no nos pararemos en ello, en la arquitectura. La sección áurea (también usada en pintura hasta nuestros días) consiste en lo que los griegos consideraban ideal de proporción entre los lados de un rectángulo.

Esta proporción era de (1+(5)^1/2)/2 y se puede apreciar en la estética artística occidental, desde el Partenón a cuadros de Dalí.

Las teorías de las matemáticas griegas sirvieron, como ya hemos reseñado antes, como punto de partida de muchos de los desarrollos posteriores y como inicio de una etapa de especulación racional que nos lleva hasta nuestros días.

Además, en la época griega se da como en casi ninguna de la historia esa unión que venimos propugnando a lo largo de esta serie de artículos entre matemáticas, arte y metafísica.

 

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A lo largo de estas páginas me he propuesto ejemplarizar una de las tres tesis que incluía el artículo introductorio: que las matemáticas pueden relacionarse con el arte de una forma útil. En principio, cuando uso el termino útil quiero decir alejado de la abstracción propia de la alta matemática. Y es así como en estos dos ejemplos hemos visto que surgen los elementos matemáticos para apoyar determinadas creaciones artísticas. Su génesis se realiza completamente pegados al suelo aunque luego por la inercia tomada en su desarrollo inicial se eleven hasta rozar la abstracción.

En ninguno de los dos ejemplos mi objetivo era hacer un estudio matemático detallado de las dos disciplinas en juego (la geometría proyectiva y la teoría de números pitagórica) sino que he dado más importancia al contexto histórico en el que surgen y a la necesidad de axiomatización matemática que tal contexto requería. De esta forma se puede apreciar que, tal vez, el articulo cede un poco del espacio propio de las matemáticas útiles a concepciones más históricas o estéticas de dicha materia.

Para una mayor profundización en el estudio de estas ramas de las matemáticas tanto en su vertiente histórica como en la analítica recomiendo los libros reseñados en las lecturas recomendadas.

Si simplificamos los argumentos expuestos hasta lo insultante, podríamos afirmar que sin las matemáticas no existirían la pintura y la música como hoy las entendemos.

Esto, aparentemente, supone tirar piedras sobre mi tejado matemático-artístico. De la anterior afirmación se podría deducir que las matemáticas no son mas que una ciencia AL SERVICIO de otras disciplinas y que su desarrollo solo tiene sentido en cuanto herramienta.

En el siguiente artículo veremos como, según mi criterio, las matemáticas surgen también en paralelo con las preocupaciones metafísicas y esta, la metafísica, no se puede considerar precisamente como parangón de disciplina útil (si así fuera el mundo sería un lugar distinto, muy distinto).

 

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Bibliografía:

  • HERNÁNDEZ PEÑALVER, Gregorio. Los orígenes de la geometría proyectiva. Seminario de historia de la matemática Vol I. Universidad Complutense
  • SMITH, D.E. History of mathematics. Vol I y II. Dover publication inc

    Lecturas Recomendadas:

  • PASTOR, Rey y BABINI, Jose. Historia de la matemática. Vol I y II J. Gedisa ed.
  • BOYER, Carl B. Historia de la matemática. Alianza Universidad Textos
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    Última actualización: lunes, 31 de diciembre de 2001

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