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Cuando el cero marca una diferencia

por Santiago Egido Arteaga

No, este artículo no habla de las circunstancias históricas por las que no existió el año cero. Pero estas fechas nos sirven para recordar una de esas cuestiones que son tan tontas que no les hemos prestado atención desde que estuvimos en el parvulario; a saber, cuando tenemos que averiguar cuánto de algo tenemos, ¿dónde empezamos a contar, en el cero o en el uno?

La regla general es que los objetos discretos como personas o manzanas se empiezan a contar en uno, mientras que las magnitudes continuas como pesos o longitudes se empiezan a  medir en cero. Pero esta regla tiene excepciones interesantes que, como veremos, a veces se deben más a razones culturales que matemáticas.

Para tomarnos un poco en serio la pregunta, quizás valga la pena hacer una visita virtual al mercado y ver cómo todos los días contamos cosas de cinco formas diferentes.

Primero vamos a comprar un kilo de chorizo. Si el tendero nos cortase una única rodaja y nos cobrase todo el pedido, argumentando que ya estábamos en el proceso de transferir el primer kilo, nosotros nos sentiríamos engañados porque queríamos un kilo entero, de esos que se completan al llegar al final de los mil gramos. Esto no puede ocurrir cuando pedimos una botella de aceite, porque o nos los da o no nos los da. Esto es lo que distingue a los objetos discretos o indivisibles de las magnitudes continuas, al menos a efectos de nuestra discusión.

Bien, ahora en vez de pedir un kilo de chorizo vamos a por un kilo de queso. La forma de medirlo es muy diferente: no se cortan virutas hasta llegar al kilo, sino que se corta a ojo un único trozo que esté cerca de pesar un kilo. La cosa es completamente diferente cuando queremos una docena de huevos, claro; ahí sí que se cuenta "como siempre", solo que no contamos nada porque vienen empaquetados. Y si queremos un kilo de naranjas, ¿cómo lo hacemos? ¿Empezamos pesando en cero y añadiendo trocitos de naranja hasta que llegamos a un kilo, o empezamos a contar naranjas discretas empezando en uno? Pues ni lo uno ni lo otro, nos contentamos con cualquier número de naranjas cuyo peso esté entre 900 y 1.100 gramos.

Veamos ahora un par de ejemplos ridículamente complicados. Las habitaciones de un hotel son cosas discretas y, consecuentemente, se empiezan a contar en la número 1. Claro que en algunos sitios se salta de la 12 a la 14, y es posible que la primera habitación de la primera planta no tenga el número 1 sino el 101. Las casas de una calle también son objetos discretos, pero se cuentan de dos en dos, pares e impares a cada lado, y curiosamente la casa que hay entre la 27 y la 29 es la 27 y medio. Pero estos no son ejemplos reales de cómo se cuenta porque, a fin de cuentas, en estos contextos no se está contando cosas sino más bien poniendo etiquetas. Se sigue un esquema más o menos regular para poner nombres a las cosas; nombres de números en estos casos, pero igual se le puede ir poniendo nombres de músicos famosos ordenados alfabéticamente a una serie de calles. Y es que un jugador de fútbol con el número 29 en su camiseta no es ni mucho menos el vigesimonoveno miembro de su equipo; los números no siempre cuentan, con frecuencia simplemente identifican.

¿Cuál es la primera dirección de memoria de su ordenador? No, no es la uno. Por raro que nos parezca, los ordenadores empiezan a contar direcciones de memoria en el cero. Esto se debe a que se accede a esa dirección cuando todos los bits del bus de memoria se ponen a cero, con lo cual lo lógico es decir que ésa es la dirección cero. Lo que ocurre es que esto no deja de ser una convención; una convención muy razonable y útil, claro, pero podríamos ponernos de acuerdo en fabricar chips de memoria que no tuviesen dirección cero y entonces la primera dirección sería la uno. O podríamos diseñar los chips de forma que restasen uno a la dirección que recibiesen, de esta forma "veríamos" chips con direcciones de la 1 a, por ejemplo, la 16.000.000, en vez de ir de 0 a 15.999.999 como hacemos ahora. Es simplemente cuestión de ponernos de acuerdo en cómo llamamos a las cosas.

Hay unos cuantos chistes informáticos bastante malos que se ríen de los programadores de C porque empiezan a contar en cero. Esto se debe a que en C, igual que en C++, Java, Javascript y muchos otros lenguajes, la primera componente de un vector es la que tiene índice cero. En otros lenguajes, como FORTRAN, Basic, o las matemáticas de toda la vida, la primera componente de un vector es la uno. Ambos sistemas funcionan igual de bien, porque no son más que convenciones.

Los dispositivos de un ordenador también se empiezan a contar en cero. Los humanos tenemos cierta reticencia a asignarle el número cero a cosas que podemos tener en la mano, pero a todos nos ha sorprendido alguna vez el ver cómo nuestra impresora se llama algo así como "printer0" a pesar de ser muy palpable.

Y finalmente, los bits de un número binario se empiezan a contar a partir del cero. ¿Que por qué llamar cero en vez de uno al bit más bajo? Pues más que otra cosa para simplificar algunas fórmulas matemáticas.

Otro ejemplo de una situación donde no siempre se empieza a contar en uno: ¿a qué altura está la primera planta de un edificio? Para simplificar el problema, asuman que no hay entresuelo ni sótanos ni áticos. Si consiguen ponerse de acuerdo, cuéntenmelo. Este es otro de esos temas donde las matemáticas tienen sorprendentemente poco que decir; lo de llamar planta baja al piso que está a la altura de la calle, en vez de primera planta, es una cuestión estrictamente cultural.

Curiosamente, a veces también se empieza a contar en cero donde podría ser lógico hacerlo en uno. Un bebé de catorce meses está en su segundo año de vida, pero sólo tiene un año. La madre habla de su segundo mes de embarazo cuando el feto sólo tiene un mes. (Recordemos el ejemplo del kilo de chorizo en rodajas: nos dan el kilo cuando se llega a los 1.000 gramos, no cuando se empieza el primer kilo).

Con los años o los kilómetros pasa una cosa curiosa, y es que estas palabras pueden referirse tanto a cosas discretas como continuas. Consideremos estas dos frases: "Hay un bosque en el tercer kilómetro de la carretera" y "Ha habido un accidente en el kilómetro 3,7". En la primera, la palabra kilómetro aparece junto a un ordinal y se refiere a un tramo de carretera que mide mil metros de longitud. En la segunda se refiere a un punto.

En las discusiones sobre el principio del milenio es frecuente confundir estos dos usos. Por ejemplo, uno de los argumentos esgrimidos en contra de la existencia del año cero es que el kilómetro cero no es un tramo, sino un punto, con lo cual el año cero no sería un intervalo de tiempo sino un instante. Como si el año 1999 hubiese durado 1999 años.

Esto nos lleva de cabeza a otra cuestión: tenemos dos palabras diferentes para referirnos a "tres" y "tercero", pero ¿cuál es el ordinal de cero? ¿"ceroavo"? Busquen ese palabro en el diccionario y verán que no existe; el ordinal de cero es también cero.

Se suele hablar con cierta condescendencia de esos primitivos monjes medievales que hicieron mal el calendario porque los muy pobrecitos no podían referirse al año cero al no tener una palabra para ello, pero el caso es que nosotros seguimos sin poder distinguir entre "año cero" y "ceroavo año". Por no hablar de que tenemos dos palabras más, "tercer" y "tercera", cuyo análogo para cero sigue siendo "cero". Se me dirá que esta distinción es pedante e innecesaria, pero esto mismo debían pensar en la Edad Media del cero.

Y es que seguimos teniéndole cierta manía al 0, y preferimos usar palabras como nada, nunca, jamás, tampoco, sin, vacío, ninguno o no antes que recurrir a ese feo número, igual que se hacía en la Edad Media. Un ejemplo: cuando nos preguntan "¿cuántas pesetas te quedan?" pero no tenemos nada de dinero, lo lógico sería responder "cero"; es decir, lo consistente sería contestar con un número, exactamente igual que diríamos "tres" en vez de "un trío" si tuviésemos tres monedas en el bolsillo. Pero no, no decimos "cero" sino "ninguna", respuesta un tanto absurda porque no nos han preguntado cuáles pesetas tenemos sino cuántas. Otro ejemplo: decimos "son las doce y cuarto" en vez de "son las cero y cuarto". Si las horas del reloj van hasta el doce, ¿no es absurdo que demos horas que se salen de esa escala?

Volviendo al tema de la pobreza de léxico, alguno se sorprenderá al saber que siglo y centuria no son exactamente sinónimos, aunque en la práctica todo el mundo los usa como tales. Los siglos son los intervalos de cien años que acaban en un año múltiplo de cien; una centuria es cualquier intervalo de cien años. Ahora mismo está empezando una centuria, pero el siglo empezará el 1 de enero de 2001. Esta es la razón por la que podemos referirnos a los siglos usando números pequeños como XX, mientras que para referirnos a una centuria tenemos de explicar cuándo empezó; podemos decir que entre tal fecha y tal evento pasó una centuria, pero nos suena rarísimo oír "la centuria XIX". Podemos hacer una tabla agrupando unas cuantas palabras:

duración (años) inicio periódico cualquier inicio
1 año año
2   bienio
3   trienio
5 lustro quinquenio
10 década decenio
100 siglo centenio, centuria
1000 milenio milenio

Así pues, si nos ponemos pedantes, la década de los 70 empezó en 1971 y acabó en 1980; el intervalo 1970-79 fue tan sólo un decenio. Pero hay un momento en que el rigor matemático se ha de tirar a la basura.

La tabla anterior nos muestra otra ambigüedad de la palabra año: no son sólo los períodos regulares que marca el calendario, sino también cualquier período de 365 días. Y siguiendo con este tema, notaremos que si bien "kilómetro tres" y "tercer kilómetro" son cosas diferentes, en cambio resulta que el año tres sí que es lo mismo que el tercer año. Nadie dice cosas como "año 3,4521", pero esto no se debe a que tal expresión no pueda tener sentido, sino más bien a que en nuestra cultura tenemos sistemas para fechar que son muy diferentes a los que usamos para medir distancias.

Incidentalmente, aclaremos un error popular sobre mediciones. La función de un calendario no es exactamente predecir la llegada de las estaciones, sino más bien tener un sistema para poner fechas (por algo se llaman calendarios en vez de estacionarios). Obviamente es preferible tener un calendario astronómico solar que haga las dos cosas a la vez, pero los judíos y musulmanes siguen con sus calendarios cuyos años no miden 365 días, y les funcionan estupendamente. Todo el mundo que lo necesite saber aprenderá cuándo llega la primavera; basta observar a las plantas, pájaros migrando o estrellas. Y un agricultor que siembre su trigo cuando el suelo está helado, por muy abril que sea, es un inútil.

Habremos notado que estamos hablando todo el rato de convenciones culturales sobre las que las matemáticas tienen muy poco que decir. Esto es particularmente cierto en el calendario. Los días del mes tienen número, pero los días de la semana tienen nombre (lunes, etc). Los meses y las estaciones tienen nombre (mayo, primavera), pero las semanas no tienen ni número ni nombre. Los años tienen número (1999), y los siglos también, sólo que éstos usan números romanos (XIX).

A nadie se le habría ocurrido preguntarse si existió el año cero si los años tuviesen nombre en vez de número. Fijémonos por un momento en un calendario impreso en los EEUU y veremos que las semanas empiezan en domingo, mientras que en España empiezan en lunes. Entonces, ¿cuál es el primer día de la semana? Si al lunes nosotros le llamásemos uno, nos encontraríamos con que los americanos empezarían su semana en el día cero, lo cual demostraría que están locos. Pero no hay ningún problema porque los días de la semana tienen nombre en vez de número. Imaginemos que al año uno le llamásemos "el año del perro" y que el año 1 antes de Cristo fuese "el año del gato". ¿Tendría sentido preguntarse si hubo un año cero? Pues no. Simplemente tendríamos una lista así de gorda de nombres de años agrupados de cien en cien y estaría absolutamente claro cuándo empiezan los siglos.

Otra observación. Teóricamente, Jesucristo nació el 25 de diciembre del año uno, es decir, una semana antes del año dos después de Jesucristo. Chiste obligatorio: pues sí que creció rápido. La pregunta de si empezamos a contrar en cero o en uno puede parecer ridícula, pero el caso es que empezamos a contar los años desde casi dos. (Lo más probable es que Jesucristo naciese en el año cuatro, complicando más la historia).

Esto del uno que se suma y se resta nos puede aparecer en contextos mucho más familiares. Por ejemplo, vamos a una biblioteca y vemos que en una estantería están los volúmenes 20 a 30 de la Espasa. ¿Cuántos tomos hay en esa estantería? Sorpresa, no hay 10, sino 11. Piénselo; hacer la resta equivale a empezar a contar en cero cuando tendríamos que empezar en uno.

Otro ejemplo, pero restando en vez de sumando. Si un romano nació en el año 30 antes de Jesucristo y murió en el año 30 después de Jesucristo, ¿cuántos años vivió? Pues 59, porque no hubo un año cero.

Por cierto, la discusión de si podría haber existido el año cero está resuelta desde hace mucho. El problema anterior de restar un año es una incomodidad para los historiadores, pero resulta un engorro enorme para los astrónomos, que necesitarían dos juegos diferentes de fórmulas dependiendo de la fecha para calcular cosas como las posiciones de los planetas. Así que se inventaron un calendario astronómico en el que el año 1 coincide con nuestro año 1, el año 0 es nuestro 1 antes de Jesucristo, y su año -1 es nuestro 2 antes de Jesucristo. Esto no sólo les funciona sin problemas, sino que realmente les simplifica los cálculos. Y es que no nos engañemos, lo más lógico desde el punto de vista matemático hubiera sido tener un año cero y un siglo cero (por supuesto, hay otros puntos de vista).

Para arreglar la eterna discusión de cuándo empiezan los siglos se ha propuesto modificar el calendario y hacer que el siglo I (o el XX) tenga sólo 99 años. De esta forma el siglo II empezaría en el año 100 y acabaría en el 199, lo cual parece más elegante que el sistema actual, donde empieza en 101 y acaba en 200. El problema es que el segundo milenio seguiría empezando en el siglo XI y acabando en el XX, con lo cual también tendríamos que ponernos de acuerdo en que el primer milenio tuviese sólo nueve siglos. Suena a catástrofe temporal de Star Trek, ¿no?

El tener siglos con 99 años puede parecer ilógico, pero a fin de cuentas tenemos meses de 28, 29, 30 y 31 días, y años con 365 y 366 días, por no hablar de los exotismos de otros calendarios no occidentales. Pero está claro que no cambiaremos nada y que esta discusión se repetirá periódicamente cada siglo. Aquellos que crean que se aprende algo de la historia deberían leer algo de los debates de 1899, 1799, y 1699, que son enormemente didácticos precisamente porque no enseñan nada nuevo.

Yo, personalmente, pienso volver a celebrar el milenio este uno de enero. Es lo correcto dado que no hubo un año cero. Pero también lo celebré el año pasado, y con razón, dado que lo lógico desde el punto de vista matemático sería que hubiese habido un año cero y que ése hubiera sido el principio del milenio. El siglo lo celebraré en el 2002, la década en el 2003, y para los días de en medio ya iré encontrando más excusas. Tengan ustedes también muchas fiestas.

 

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Última actualización: domingo, 31 de diciembre de 2000

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